Anexo IV: Regla de Cramer

Enunciado

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n... ...\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n & = & b_n \end{array}\right\} $

este sistema tiene solución única si, y solamente si, el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, y cada incógnita $ x_j$se obtendrá dividiendo el determinante que se obtiene de sustituir en la matriz de los coeficientes la columna $ j$por la de los términos independientes entre el determinante de la matriz de los coeficientes:

$\displaystyle x_j=\frac{det(B_j)}{\vert A\vert}\qquad\textrm{donde}\qquad \ver... ...ts & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) $

Ejercicio resuelto

Vamos a ver un ejemplo de aplicación directa de la Regla de Cramer a la resolución de sistemas de ecuaciones.
Resolver el siguiente sistema: $ \left.\begin{array}{rcl} 2x+3y-z&=&6\\ x-5y+2z&=&-4\\ 3x+2y-3z&=&-6\end{array}\right\}$
Si escribimos el sistema en forma matricial, $ AX=b$, siendo $ A=\left(\begin{array}{rrr} 2&3&-1\\ 1&-5&2\\ 3&2&-3\end{array}\right)$,
$ X=\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\end{array}\right)$y $ b=\left(\begin{array}{c} 6\\ -4\\ -6\end{array}\right)$, tenemos que ver en primer lugar si $ \vert A\vert\neq0$para poder aplicar la regla de Cramer. Calculando:

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr} 2&3&-1\\ 1&-5&2\\ 3&2&-3\end{array}\right\vert= 30+18-2-15-8+9=32\neq0 $

Por tanto, podemos aplicar la regla de Cramer, con lo que la solución de este sistema es:

$\displaystyle x$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{\left\vert\begin{array}{rrr} 6&3&-1\\ -4&-5&2\\ -6&2&-3\end{array}\right\vert}{\vert A\vert}= \frac{90-36+8+30-24-36}{32}=\frac{32}{32}=1$

 

$\displaystyle y$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{\left\vert\begin{array}{rrr} 2&6&-1\\ 1&-4&2\\ 3&-6&-3\end{array}\right\vert}{\vert A\vert}= \frac{24+36+6-12+24+18}{32}=\frac{96}{32}=3$

 

$\displaystyle z$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{\left\vert\begin{array}{rrr} 2&3&6\\ 1&-5&-4\\ 3&2&-6\end{array}\right\vert}{\vert A\vert}= \frac{60-36+12+90+18+16}{32}=\frac{160}{32}=5$

 


Finalmente, $ (x=1, y=3, z=5)$

Ejercicios propuestos

Resolver los siguientes sistemas:

1. $ \left\{\begin{array}{rcl} x-y+z & = & 6\\ x+y-z & = & 2\\ x+y+z & = & 12 \end{array}\right.$

2. $ \left\{\begin{array}{rcl} x-2y+z & = & 3\\ 3x+y-5z & = & 2 \end{array}\right.$

3. $ \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z+t & = & 0\\ x-y+z-t & = & 0 \end{array}\right.$

4. $ \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z+t & = & 0\\ x-y+z-t & = & 12\\ x+y-z+t & = & -8\\ x-y-z+t & = & -6 \end{array}\right.$

5. $ \left\{\begin{array}{rcl} x+2y+z+2t & = & 0\\ 2x-y+4z+3t & = & 0\\ 3x\qquad -z\qquad & = & 0\\ x\qquad +z+t & = & 0 \end{array}\right.$

6. $ \left\{\begin{array}{rcl} y+z & = & 2\\ z+t & = & 1\\ x-2t & = & 3 \end{array}\right.$

7. $ \left\{\begin{array}{rcl} 2x-y+z & = & 0\\ x+y+z & = & 0\\ -x-y+2z & = & 0 \end{array}\right.$

8. $ \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z & = & 1\\ y+z+t & = & 1\\ x+y+t & = & 1 \end{array}\right.$

9. $ \left\{\begin{array}{rcl} x+y+z & = & 1\\ 2x-y+z & = & 2\\ x-2y & = & 1 \end{array}\right.$

10. $ \left\{\begin{array}{rcl} 3x-y+t & = & 0\\ 2x+y+z & = & 0\\ 5x+z+t & = & 0\\ x-2y-z+t & = & 0 \end{array}\right.$

·   Ejercicios para practicar aplicando el método de Gauss: por aquí

·   Teorema de Rouché-Frobenius (con ejercicios propuestos): por aquí